Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека. Один десятичный разряд называется децит (decit) (сокращение от decimal digit). Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр (от 1 до 1 000 000) возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в Древнем Египте (египетская система счисления). В другой великой цивилизации — вавилонской с её шестидесятеричной системой — за две тысячи лет до н. э. внутри позиционных шестидесятеричных разрядов использовалась непозиционная (аддитивная) десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр. Египетская десятичная система повлияла на аналогичную систему в первых европейских системах письма, таких как критские иероглифы, линейное письмо А и линейное письмо Б.
Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось иное название — «арабская» (арабские цифры).

Битва за Раджастан — вооружённое столкновение или серия столкновений, в которых гуджарские кланы противостояли арабским завоевателям в 738 году. Итогом битвы стало выдворение арабов с территорий к востоку от Инда. Финальное сражение произошло в границах современных Синда — Раджастхана. Название битвы связано как с территорией (Раджастхан), так и с кланами Гуптов, которые проживали на этой территории.

Шанкара (Ади Шанкара санскр. आदि शंकर [aːd̪i ɕəŋkərə], Шанкарачарья; 788—820) — индийский мыслитель, ведущий представитель веданты, религиозный реформатор и полемист, мистик и поэт. На основе Упанишад создал последовательную монистическую систему — адвайта-веданту. Традиционные описания жизни Шанкары в основном описывают чудесные и легендарные события. Его родители (брахманы) были бездетны много лет. Они молили Шиву в шиваитском храме Вришадринатха в горах Тричурa даровать им ребёнка. Шива явился во сне супругам и предложил выбор: множество посредственных сыновей, которые жили бы длинной жизнью во внешнем богатстве и удаче, или одного сына, который не будет жить долго, но станет великим мудрецом. Родители выбрали последнего, которого назвали в честь бога Шанкарой (один из эпитетов Шивы). Его отец умер, когда Шанкаре исполнилось пять лет. В этом возрасте он приступил к изучению четырёх Вед, показав поразительные способности и вскоре превзошёл в учёности своих учителей. В возрасте восьми лет, когда истёк срок отпущенный изначально Шанкаре для земной жизни, на глазах матери его в реке схватил крокодил и отпустил только тогда, когда женщина согласилась, чтобы её сын стал санньясином. Шанкара отправился в поисках гуру на север Индии, где на берегах реки Нармады он встретил Говинду, ученика Гаудапады. Здесь Шанкара постиг основы адвайты, написал большинство шиваитских и вишнуитских гимнов, создал ряд философских трактатов и комментарий к «Брихадараньяка-упанишаде». Существовало пророчество Бадараяны, согласно которому лучшее толкование его текста суждено написать усмирителю вод. Говинда вспомнил о нём, когда Шанкара, исполнив специальную мантру на «привлечение вод», усмирил вышедшую из берегов Нармаду. Шанкара, получив благословение своего учителя, за четыре года написал комментарии ко всем произведениям «тройного канона»: к «Брахма-сутрам» Бадараяны, «Бхагавад-гите» и основным Упанишадам. Шанкара совершил паломничество на священную гору Кайлас, где ему явился Шива в ипостаси подателя высшего знания (Дакшинамурти), и в Бенарес. После смерти Говинды, которого погребли на одном из островов Нармады и впоследствии возвели храм, Шанкара в сопровождении учеников, часть из которых была учениками Говинды, отправился в Праягу, гдё провёл немало диспутов и приобрёл новых приверженцев. Затем Шанкара вновь отправился в «город двух тысяч храмов» и поселился в гхате (святилище для совершения погребальных обрядов) на берегу Ганга. Однажды он встретил на улице чандалу (сына шудры и женщины-брахманки, наиболее презираемая часть индийского общества) и приказал тому уступить дорогу, опасаясь ритуальной нечистоты, но чандала, ссылаясь на учение адвайты о единстве Атмана, сказал о изначальном единстве всех живых существ, после чего Шанкара припал к его ногам и просил прощения.
В последние годы перед смертью Шанкара странствовал по Индии и организовал ряд монастырей (Дварака, Джошиматх в 45 км от Бадринатха, Пури, Шрингери, Канчи), некоторые из которых действуют и поныне. Умер он на 33 году жизни в окружении многочисленных учеников и приверженцев. Ряд мест претендуют на место его захоронения (Канчи, Кедарнатх), но есть предание о его божественном преображении (дематериализации в радужное тело) на горе Кайлас.

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись. Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.); Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a, могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. В IX век Индийский математик Шридхарачарья вывел квадратную формулу, используемую для решения квадратных уравнений.

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека. Один десятичный разряд называется децит (decit) (сокращение от decimal digit). Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр (от 1 до 1 000 000) возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в Древнем Египте (египетская система счисления). В другой великой цивилизации — вавилонской с её шестидесятеричной системой — за две тысячи лет до н. э. внутри позиционных шестидесятеричных разрядов использовалась непозиционная (аддитивная) десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр. Египетская десятичная система повлияла на аналогичную систему в первых европейских системах письма, таких как критские иероглифы, линейное письмо А и линейное письмо Б.
Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось иное название — «арабская» (арабские цифры).

Битва за Раджастан — вооружённое столкновение или серия столкновений, в которых гуджарские кланы противостояли арабским завоевателям в 738 году. Итогом битвы стало выдворение арабов с территорий к востоку от Инда. Финальное сражение произошло в границах современных Синда — Раджастхана. Название битвы связано как с территорией (Раджастхан), так и с кланами Гуптов, которые проживали на этой территории.

Шанкара (Ади Шанкара санскр. आदि शंकर [aːd̪i ɕəŋkərə], Шанкарачарья; 788—820) — индийский мыслитель, ведущий представитель веданты, религиозный реформатор и полемист, мистик и поэт. На основе Упанишад создал последовательную монистическую систему — адвайта-веданту. Традиционные описания жизни Шанкары в основном описывают чудесные и легендарные события. Его родители (брахманы) были бездетны много лет. Они молили Шиву в шиваитском храме Вришадринатха в горах Тричурa даровать им ребёнка. Шива явился во сне супругам и предложил выбор: множество посредственных сыновей, которые жили бы длинной жизнью во внешнем богатстве и удаче, или одного сына, который не будет жить долго, но станет великим мудрецом. Родители выбрали последнего, которого назвали в честь бога Шанкарой (один из эпитетов Шивы). Его отец умер, когда Шанкаре исполнилось пять лет. В этом возрасте он приступил к изучению четырёх Вед, показав поразительные способности и вскоре превзошёл в учёности своих учителей. В возрасте восьми лет, когда истёк срок отпущенный изначально Шанкаре для земной жизни, на глазах матери его в реке схватил крокодил и отпустил только тогда, когда женщина согласилась, чтобы её сын стал санньясином. Шанкара отправился в поисках гуру на север Индии, где на берегах реки Нармады он встретил Говинду, ученика Гаудапады. Здесь Шанкара постиг основы адвайты, написал большинство шиваитских и вишнуитских гимнов, создал ряд философских трактатов и комментарий к «Брихадараньяка-упанишаде». Существовало пророчество Бадараяны, согласно которому лучшее толкование его текста суждено написать усмирителю вод. Говинда вспомнил о нём, когда Шанкара, исполнив специальную мантру на «привлечение вод», усмирил вышедшую из берегов Нармаду. Шанкара, получив благословение своего учителя, за четыре года написал комментарии ко всем произведениям «тройного канона»: к «Брахма-сутрам» Бадараяны, «Бхагавад-гите» и основным Упанишадам. Шанкара совершил паломничество на священную гору Кайлас, где ему явился Шива в ипостаси подателя высшего знания (Дакшинамурти), и в Бенарес. После смерти Говинды, которого погребли на одном из островов Нармады и впоследствии возвели храм, Шанкара в сопровождении учеников, часть из которых была учениками Говинды, отправился в Праягу, гдё провёл немало диспутов и приобрёл новых приверженцев. Затем Шанкара вновь отправился в «город двух тысяч храмов» и поселился в гхате (святилище для совершения погребальных обрядов) на берегу Ганга. Однажды он встретил на улице чандалу (сына шудры и женщины-брахманки, наиболее презираемая часть индийского общества) и приказал тому уступить дорогу, опасаясь ритуальной нечистоты, но чандала, ссылаясь на учение адвайты о единстве Атмана, сказал о изначальном единстве всех живых существ, после чего Шанкара припал к его ногам и просил прощения.
В последние годы перед смертью Шанкара странствовал по Индии и организовал ряд монастырей (Дварака, Джошиматх в 45 км от Бадринатха, Пури, Шрингери, Канчи), некоторые из которых действуют и поныне. Умер он на 33 году жизни в окружении многочисленных учеников и приверженцев. Ряд мест претендуют на место его захоронения (Канчи, Кедарнатх), но есть предание о его божественном преображении (дематериализации в радужное тело) на горе Кайлас.

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись. Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.); Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a, могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. В IX век Индийский математик Шридхарачарья вывел квадратную формулу, используемую для решения квадратных уравнений.